Berechnen der Schaltverluste einer dreiphasigen Brücke

Auch dieser Beitrag basiert wieder auf der App-Note "Calculating Motor Driver Power Dissipation" von TI. Bei allen verwendeten Daten beziehe ich mich ebenfalls wieder auf mein letztes Brücken-Design.

• Betriebsparameter
• $U_{BAT} = 4,2V \cdot 18 = 75,6V$
• $I_{BAT} = 100A$ 
• PWM Frequenz: 24kHz 
• MosFETs
• $R_{DS(ON)_{MAX}}  = 4,5m\Omega$
• $Q_g = 58nC$
• 8 x FETs parallel

Treiberleistung

Der Vollständigkeit halber will ich auch kurz auf den Leistung- bzw. Strombedarf des Treibers eingehen. Dabei beziehe ich mich auf das Wiki von mikrocontroller.net zu MosFet-Treibern. Dort wird die Treiberleistung wie folgt berechnet.

$P_{Drv} = f_{sw} \cdot Q_{g_{Gesamt}} \cdot U_{Drv}$

Die Spannung $U_{Drv}$ ist hier die Spannungsversorgung des Treibers und damit die Spannung auf die die Gates umgeladen werden. Das die Highside noch 0,7V über die Bootstrap-Diode einbüßt vernachlässige ich in den folgenden Rechnungen. 

Die Ladung $Q_{g_{Gesamt}}$ steht hier für die Total-Gate-Charge $Q_g$ aller mit der PWM Frequenz $f_{sw}$ geschalteten FETs. In meinem Fall also $48 \cdot 58nC = 2784nC$. 

$P_{Drv} = f_{sw} \cdot Q_{g_{Gesamt}} \cdot U_{Drv} = 24kHz \cdot 2784nC \cdot 12V = 0,8W$

Daraus lässt sich dann auch der Strombedarf für den Treiber mit $I_{Drv} = \cfrac{P_{Drv}}{U_{Drv}} = \cfrac{0,8W}{12V} = 67mA$ berechnen.

Schaltverluste

Wirklich zubuche schlagen aber die eigentlichen Schaltverluste während des Umschaltens zwischen Low- und Highside.

Dafür setzt man üblicherweise eine linear steigende/fallende Spannung bei konstantem Strom voraus. Die Fläche des Spannungsdreiecks bestimmt damit die eigentliche Schaltverlustleistung. TI gibt deshalb pro Phase folgende Gleichung an:

$P_{sw_{Ph}} = 0,5 \cdot U_{BAT} \cdot  I \cdot t_{rf} \cdot f_{sw}$

Bis auf die Anstiegs- bzw. Fallzeit der Spannung sind alle benötigten Werte bereits bekannt. Für eine halbwegs gute Näherung setze ich einfach mal an, das der LM5101A 3A in die Gates von 8 FETs schiebt. Um die Gateladung der FETs mit 3A auf 12V zu laden braucht er:

$t_{rf} = \cfrac{8 \cdot Q_g}{3A} = \cfrac{8 \cdot 58nC}{3A} = 154ns$

Ja dabei vernachlässige ich bewusst die Abflachung des Anstiegs je höher die Spannung steigt. Aber im Grunde muss der FET ja auch nur über seinen Threshold und das ist bei 63% von 12V auf jeden Fall so. Zur Sicherheit nehme ich $t_{rf} =200ns$ an.

$P_{sw} = 3 \cdot 0,5 \cdot U_{BAT} \cdot  I \cdot t_{rf} \cdot f_{sw} = 1,5 \cdot 75,6V \cdot 82A \cdot 200ns \cdot 24kHz = 44,6W$

Gesamtverluste der Brücke

Alles in allem komme ich so auf eine Verlustleistung $P_v = 11,4W + 0,8W + 44,6W = 56,8W$. Wenn die Brücke bei dieser Verlustleistung bei 30°C Umgebungstemperatur nicht die zulässige Sperrschichttemperatur der FETs von 150°C übersteigen soll dann muss der thermische Widerstand der Kühlung unter $\cfrac{150°C - 30°C}{56,8W} = 2\cfrac{K}{W}$ liegen. 

Da ist es goldwert 48 FETs zuhaben. Denn ein FET allein hat bereits einen thermischen Widerstand von der Sperrschicht zum Gehäuse von $\approx1\cfrac{K}{W}$. Dieser reduziert sich glücklicherweise bei 48 FETs die doppelseitig an einen Kühlkörper angebunden sind auf  $\approx1/96\cfrac{K}{W}$ sprich $\approx0,01\cfrac{K}{W}$. Nichts desto trotz sind Kühlkörper mit weniger als $2\cfrac{K}{W}$ nicht gerade klein geschweige den leicht.

Wie ich das gekühlt bekomme werden ich sehen wenn der elektrische Aufbau steht.

Soweit erstmal die mathematische Auslegung. 

Die Tücken der Verlustleistung

Gleich vorweg der ganze Beitrag basiert auf der App-Note "Calculating Motor Driver Power Dissipation" von TI. Bei allen verwendeten Daten beziehe ich mich auf mein letztes Brücken-Design.

• Betriebsparameter
• $U_{BAT} = 4,2V \cdot 18 = 75,6V$
• $I_{BAT} = 100A$ 
• MosFETs
• $R_{DS(ON)_{MAX}}  = 4,5m\Omega$
• $Q_g = 58nC$
• 8 x FETs parallel

Durchlassverluste

Die App-Note geht hier zwar von einem DC Motor aus, aber das lässt sich ja auf Drehstrom übertragen. Für DC setzt TI folgende Gleichung an:

$P = (R_{DS(ON)_{HS}} \cdot I^2) + (R_{DS(ON)_{LS}} \cdot I^2)$

Der Strom fließt also aus der Highside in die Lowside und passiert bei einer DC-Vollbrücke genau zweimal einen FET. Bei einer dreiphasigen Maschine fließt in allen 3 Phasen der Strom. Deshalb passiert der Strom eine Lowside und zwei Highsides oder umgekehrt. Da nie die Highside und die Lowside einer Phase gleichzeitig aktiv sind (sein sollen) und die Thermodynamik langsam ist sieht die Gleichung für dreiphasenige System so aus:

$P_v = 3 \cdot (R_{DS(ON)} \cdot I^2)$

Ich habe hier gleich die $R_{DS(ON)}$ zusammen gefasst, weil alle gleich sind.

Jetzt ist aber noch eine Frage offen für die Berechnung der Verlustleistung. Wie hoch ist $I$ eigentlich? Da setze ich einfach mal den Energieerhaltungssatz an. Die Energie die rein geht muss auch wieder raus. Wenn man jetzt noch annimmt, dass der Wirkungsgrad des Umrichters $\approx1$ ist. Gehen schlanke $ U_{BAT} \cdot I_{BAT} = P_{BAT} = 75,6V \cdot 100A = 7560W$ von der Batterie in den Umrichter. Und die müssen ja auch wieder raus, aber da wird es dann auch wieder knifflig.

Warum? Weil der Innenwiderstand der Motoren so niedrig ist wird die Länge des Spannungsvektors nahezu allein durch die Drehzahl der Maschine bestimmt. (EMK Spannung) Der Spannungsabfall über dem Wicklungsinnenwiderstand kann vernachlässigen. Das Problem ist also wie sieht die Betriebsdrehzahl des Antriebs aus. Für ein Traktionsantrieb, also Fahrrad, KFZ usw. ist die Leerlaufdrehzahl der Maschine kein normaler Betriebspunkt. Da wird sich die Drehzahl im Mittel auf 50% der Leerlaufdrehzahl der Maschine belaufen. Bei einem Propellerantrieb, hingegen ist eine Betrieb nahe der Leerlaufdrehzahl sehr wahrscheinlich.

Langer Rede kurzer Sinn: Niedrige Drehzahlen bedeuten mehr Strom und damit ist der Antrieb als auch der Umrichter in einem ungünstigeren Betriebspunkt. ABER: Das soll ja eine Abschätzung sein und deshalb nehmen wir einfach einen Betriebspunkt und zwar Leerlaufdrehzahl und volle Lotte Strom. Bei voller Leerlaufdrehzahl muss der Umrichter den längst möglichen Spannungsvektor fahren.

Stern oder Dreieck

Egal. Zumindest für den Umrichter. Für die Rechnung nicht. Und um diese möglichst "einfach" zu halten nehme ich Stern an. Weiterhin sage ich an dem Motor liegt ein gültiger Spannungsvektor von $[1; 0,5; 0]$ an. Phase A ist hierbei fest auf $U_{BAT}$, Phase B bekommt eine 50% PWM und Phase C liegt fest auf $GND$. In dem Fall sehen die Spulen A und C eine Spannung von $0,5 \dot U_{BAT}$. Bei geschickter Modulation (SVPWM) lassen sich ca. 15% mehr Spannungshub rausholen. Deshalb sieht jede Spule im Stern maximal $1,15 \cdot 0,5 \cdot U_{BAT}$. 

Für die Leistungsberechnung ist aber nicht der Spitzenwert, welchen wir jetzt berechnet haben , interessant sondern der RMS Wert. Somit ergibt sich eine wirksame Spannung von

$U_L = \cfrac{1,15 \cdot 0,5 \cdot 75,6V}{\sqrt(2)} = 30,74V$

pro Phase. Weil wir drei Phasen haben die mit $P = U \cdot I$ zusammen auf $7560W$ kommen sollen, muss noch etwas umgestellt werden und siehe da:

$I = \cfrac{ P_{BAT}}{3 \cdot U_L} = \cfrac{7560W}{3 \cdot 30,74V} = 82A$

Es fließt also ein Strom mit dem Effektivwert von $82A$ durch jede Phase und damit durch jeden aktiven $R_{DS(ON)}$

$P_v = 3 \cdot (R_{DS(ON)} \cdot I^2) = 3 \cdot (\cfrac{4,5m\Omega}{8} \cdot 82A^2 = 11,4W$

Und spätesten die $11,4W$ sollten jedem klar machen, dass dieses Brücken Design mit 65x85mm echt klein ist. Ich bin gespannt. 

Die Schaltverluste kommen Morgen im nächsten Post.